Étude de fonction

On considère une fonction \(f\)  définie et dérivable sur l’intervalle \([-4~;~2]\) .
La fonction dérivée de \(f\)  est notée \(f'\) .

Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe \(\mathcal{C}\)  est la courbe représentative de \(f\)  sur l’intervalle \([-4~;~2]\) .
Le point \(\text A\)  est le point de la courbe \(\mathcal{C}\)  d’abscisse \(- 1\) .
La droite \(\mathcal{T}\)  est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\)  en \(\text A\) .

1. Par lecture graphique, donner la valeur de \(f'(-1)\) .

2. Résoudre, graphiquement, l’inéquation \(f'(x)\leqslant 0\) .

On admet que la fonction  \(f\)  est définie sur \([-4~;~2]\)  par \(f(x)=(-x^2 + 2,5x-1)\text e^x\) .

3. Vérifier que, pour tout réel  \(x\) de l’intervalle  \([-4~;~2]\) ,  \(f'(x)= (- x^2 + 0,5x + 1,5)\text e^x\) .

4. Étudier le signe de la fonction  \(f'\) sur l’intervalle  \([-4~;~2]\) .

5. En déduire les variations de \(f\) sur l’intervalle \([-4~;~2]\) .